数学因式分解的九种方法备考2021中考指导
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。下面是小偏整理的数学因式分解的九种方法备考2021中考指导，感谢您的每一次阅读。
数学因式分解的九种方法备考2021中考指导
一、运用公式法
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式
1、式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)
2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。
三、因式分解
1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式
1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，
就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法
我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)
做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b).
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
六、提公因式法
1、在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.
2、运用公式x^2 +(p+q)x+pq=(x+q)×(x+p)进行因式分解要注意：
(1)必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。
(2)将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：
① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;
②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。
3、将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式。
七、分式的乘除法
1、把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。
3、如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。
4、分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)^2=(y-x)^2， (x-y)^3=-(y-x)^3。
5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.
6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.
八、分数的加减法
1、通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来。
2、通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变。
3、一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。
4、通分的依据：分式的基本性质。
5、通分的关键：确定几个分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
6、类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
7、同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。
8、异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
9、同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号。
10、对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。
11、异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化。
12、作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式。
九、含有字母系数的一元一次方程
引例：一数的a倍(a≠0)等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程 ax=b(a≠0)
在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。
辅助线的九种添加方法
1添辅助线有二种情况
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
(1)平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;
当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
(7)相似三角形：
相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
(8)特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2;30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
(9)半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
2基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
(1)连对角线或平移对角线：
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
(1)在梯形内部平移一腰。
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形内平移两腰
(4)延长两腰
(5)过梯形上底的两端点向下底作高
(6)平移对角线
(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。
(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。
(9)作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
(1)见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
(2)见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
(3)见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
(4)两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
(5)两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
3作辅助线的方法
1中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
2垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
3边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
4造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角;第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)
5两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
6两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切(外切，内切)，或相离(内含、外离)，那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
7切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆;相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
8弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线;如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线;反之，亦成立。
如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
9面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，(在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积)，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形;反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
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