最高考寒假作业高二数学
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最高考寒假作业高二数学
1.已知sinα=-22，π2<α<3π2，则角α等于( )
A.π3
B.2π3
C.4π3
D.5π4
[答案] D
2.已知向量a=(-2,2)，b=(5，k).若|a+b|不超过5，则k的取值范围是( )
A.[-4,6]
B.[-6,4]
C.[-6,2]
D.[-2,6]
[答案] C
[解析] 由|a+b|≤5平方得a2+2a•b+b2≤25，
由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25，
即k2+4k-12≤0，(k+6)(k-2)≤0，求得-6≤k≤2.故选C.
3.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( )
A.π4
B.π2
C.π
D.2π
[答案] C
[解析] 由f(x)=|sinx+cosx|=2sinx+π4，而y=2sin(x+π4)的周期为2π，所以函数f(x)的周期为π，故选C.
[点评] 本题容易错选D，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响.
4.|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
[答案] C
[解析] ∵c⊥a，∴a•c=0，∴a•(a+b)=0，
即a•b=-|a|2，设a与b的夹角为θ，
∴cosθ=a•b|a|•|b|=-|a|2|a|•|b|=-12，
∴θ=120°.
5.函数y=tan2x-π4的单调增区间是( )
A.kπ2-π8，kπ2+3π8，k∈Z
B.kπ2+π8，kπ2+5π8，k∈Z
C.kπ-π8，kπ+3π8，k∈Z
D.kπ+π8，kπ+5π8，k∈Z
[答案] A
[解析] ∵kπ-π2<2x-π4
∴kπ-π4<2x
∴kπ2-π8
6.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A.(-2,4)
B.(-30,25)
C.(10，-5)
D.(5，-10)
[答案] C
[解析] 设(-10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1→=(x+10，y-10)，由题意有AA1→=5v.
所以(x+10，y-10)=(20，-15)
⇒x+10=20y-10=-15⇒x=10y=-5所以选C.
寒假作业及答案
1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是()
A.1B.0
C.14D.不存在
解析：选B.由函数f(x)=x2在[0,1]上的图象(图略)知，
f(x)=x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)=0.
2.函数f(x)=2x+6，x∈[1，2]x+7，x∈[-1，1]，则f(x)的值、最小值分别为()
A.10,6B.10,8
C.8,6D.以上都不对
解析：选A.f(x)在x∈[-1,2]上为增函数，f(x)max=f(2)=10，f(x)min=f(-1)=6.
3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的值为()
A.1B.2
C.-1D.不存在
解析：选A.因为函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1.对称轴为x=1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax=-1+2=1.
4.函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为()
A.2B.12
C.13D.-12
解析：选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数，
∴ymin=13-1=12.
5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的利润为()
A.90万元B.60万元
C.120万元D.120.25万元
解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15-x)辆，∴公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当x=9或10时，L为120万元，故选C.
6.已知函数f(x)=-x2+4x+a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值-2，则f(x)的值为()
A.-1B.0
C.1D.2
解析：选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.
∴函数f(x)图象的对称轴为x=2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增.
又∵f(x)min=-2，
∴f(0)=-2，即a=-2.
f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.
寒假作业例题
7.函数y=sin2x+π6+cos2x+π3的最小正周期和值分别为( )
A.π，1
B.π，2
C.2π，1
D.2π，2
[答案] A
[解析] y=sin2xcosπ6+cos2x•sinπ6+cos2xcosπ3-sin2xsinπ3
=32sin2x+12cos2x+12cos2x-32sin2x
=cos2x，
∴函数的最小正周期为π，值为1.
8.设向量a=(1，-3)，b=(-2,4)，c=(-1，-2)，表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2，-6)
D.(-2，-6)
[答案] D
[解析] 设d=(x，y)，由题意4a=(4，-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4，-2).又表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，
∴4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即(4，-12)+(-6，20)+(4，-2)+(x，y)=(0,0)，求得向量d=(-2，-6).
9.若sinα+cosα=tanα0<α<π2，则角α所在区间是( )
A.0，π6
B.π6，π4
C.π4，π3
D.π3，π2
[答案] C
[解析] tanα=sinα+cosα=2sin(α+π4)，
∵0<α<π2，∴π4<α+π4<3π4.
∴22
∴1
∴π4<α<π3，即α∈(π4，π3).故选C.
10.若向量i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+mj，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是( )
A.12，+∞
B.(-∞，-2)∪-2，12
C.-2，23∪23，+∞
D.-∞，12
[答案] B
[解析] 由条件知a=(1，-2)，b=(1，m)，
∵a与b的夹角为锐角，
∴a•b=1-2m>0，∴m<12.
又a与b夹角为0°时，m=-2，∴m≠-2.
[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论.
11.已知函数F(x)=sinx+f(x)在-π4，3π4上单调递增，则f(x)可以是( )
A.1
B.cosx
C.sinx
D.-cosx
[答案] D
[解析] 当f(x)=1时，F(x)=sinx+1;当f(x)=sinx时，F(x)=2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是-π2，π2，在-π4，3π4上不单调;对B选项，当f(x)=cosx时，F(x)=sinx+cosx=2sinx+π4的一个增区间是-3π4，π4，在-π4，3π4上不单调;D选项是正确的.
12.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
[答案] B
[解析] ∵C=π-(A+B)，∴sinC=sin(A+B)，∴2sinAcosB=sin(A+B).∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∴A-B=kπ(k∈Z).又A、B为三角形的内角，∴A-B=0.∴A=B.则三角形为等腰三角形.
[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件.
