最高考寒假作业高二数学

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最高考寒假作业高二数学

最高考寒假作业高二数学

1.已知sinα=-22,π2<α<3π2,则角α等于(  )

A.π3

B.2π3

C.4π3

D.5π4

[答案] D

2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是(  )

A.[-4,6]

B.[-6,4]

C.[-6,2]

D.[-2,6]

[答案] C

[解析] 由|a+b|≤5平方得a2+2a•b+b2≤25,

由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25,

即k2+4k-12≤0,(k+6)(k-2)≤0,求得-6≤k≤2.故选C.

3.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是(  )

A.π4

B.π2

C.π

D.2π

[答案] C

[解析] 由f(x)=|sinx+cosx|=2sinx+π4,而y=2sin(x+π4)的周期为2π,所以函数f(x)的周期为π,故选C.

[点评] 本题容易错选D,其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响.

4.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为(  )

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

[答案] C

[解析] ∵c⊥a,∴a•c=0,∴a•(a+b)=0,

即a•b=-|a|2,设a与b的夹角为θ,

∴cosθ=a•b|a|•|b|=-|a|2|a|•|b|=-12,

∴θ=120°.

5.函数y=tan2x-π4的单调增区间是(  )

A.kπ2-π8,kπ2+3π8,k∈Z

B.kπ2+π8,kπ2+5π8,k∈Z

C.kπ-π8,kπ+3π8,k∈Z

D.kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z

[答案] A

[解析] ∵kπ-π2<2x-π4

∴kπ-π4<2x

∴kπ2-π8

6.点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(  )

A.(-2,4)

B.(-30,25)

C.(10,-5)

D.(5,-10)

[答案] C

[解析] 设(-10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则AA1→=(x+10,y-10),由题意有AA1→=5v.

所以(x+10,y-10)=(20,-15)

⇒x+10=20y-10=-15⇒x=10y=-5所以选C.

寒假作业及答案

1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是()

A.1B.0

C.14D.不存在

解析:选B.由函数f(x)=x2在[0,1]上的图象(图略)知,

f(x)=x2在[0,1]上单调递增,故最小值为f(0)=0.

2.函数f(x)=2x+6,x∈[1,2]x+7,x∈[-1,1],则f(x)的值、最小值分别为()

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

解析:选A.f(x)在x∈[-1,2]上为增函数,f(x)max=f(2)=10,f(x)min=f(-1)=6.

3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的值为()

A.1B.2

C.-1D.不存在

解析:选A.因为函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1.对称轴为x=1,开口向下,故在[1,2]上为单调递减函数,所以ymax=-1+2=1.

4.函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为()

A.2B.12

C.13D.-12

解析:选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数,

∴ymin=13-1=12.

5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的利润为()

A.90万元B.60万元

C.120万元D.120.25万元

解析:选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15,x为正整数),则在乙地销售(15-x)辆,∴公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当x=9或10时,L为120万元,故选C.

6.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的值为()

A.-1B.0

C.1D.2

解析:选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.

∴函数f(x)图象的对称轴为x=2,

∴f(x)在[0,1]上单调递增.

又∵f(x)min=-2,

∴f(0)=-2,即a=-2.

f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.

寒假作业例题

7.函数y=sin2x+π6+cos2x+π3的最小正周期和值分别为(  )

A.π,1

B.π,2

C.2π,1

D.2π,2

[答案] A

[解析] y=sin2xcosπ6+cos2x•sinπ6+cos2xcosπ3-sin2xsinπ3

=32sin2x+12cos2x+12cos2x-32sin2x

=cos2x,

∴函数的最小正周期为π,值为1.

8.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为(  )

A.(2,6)

B.(-2,6)

C.(2,-6)

D.(-2,-6)

[答案] D

[解析] 设d=(x,y),由题意4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2).又表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,

∴4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,即(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),求得向量d=(-2,-6).

9.若sinα+cosα=tanα0<α<π2,则角α所在区间是(  )

A.0,π6

B.π6,π4

C.π4,π3

D.π3,π2

[答案] C

[解析] tanα=sinα+cosα=2sin(α+π4),

∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4.

∴22

∴1

∴π4<α<π3,即α∈(π4,π3).故选C.

10.若向量i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,则实数m的取值范围是(  )

A.12,+∞

B.(-∞,-2)∪-2,12

C.-2,23∪23,+∞

D.-∞,12

[答案] B

[解析] 由条件知a=(1,-2),b=(1,m),

∵a与b的夹角为锐角,

∴a•b=1-2m>0,∴m<12.

又a与b夹角为0°时,m=-2,∴m≠-2.

[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值,夹角为钝角则数量积为负值,是常用的结论.

11.已知函数F(x)=sinx+f(x)在-π4,3π4上单调递增,则f(x)可以是(  )

A.1

B.cosx

C.sinx

D.-cosx

[答案] D

[解析] 当f(x)=1时,F(x)=sinx+1;当f(x)=sinx时,F(x)=2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是-π2,π2,在-π4,3π4上不单调;对B选项,当f(x)=cosx时,F(x)=sinx+cosx=2sinx+π4的一个增区间是-3π4,π4,在-π4,3π4上不单调;D选项是正确的.

12.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是(  )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.正三角形

[答案] B

[解析] ∵C=π-(A+B),∴sinC=sin(A+B),∴2sinAcosB=sin(A+B).∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∴A-B=kπ(k∈Z).又A、B为三角形的内角,∴A-B=0.∴A=B.则三角形为等腰三角形.

[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件.


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