高二数学选修21教案文案

2022-07-04 14:26:38

由学俊21252分享

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高二数学选修21教案最新文案1

(1)平面向量基本定理的内容是什么?

(2)如何定义平面向量基底?

(3)两向量夹角的定义是什么?如何定义向量的垂直?

[新知初探]

1.平面向量基本定理

条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2

基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量;②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是的;③基底不，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.

2.向量的夹角

条件两个非零向量a和b

产生过程

作向量=a，=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

范围0°≤θ≤180°

特殊情况θ=0°a与b同向

θ=90°a与b垂直，记作a⊥b

θ=180°a与b反向

[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意两个向量都可以作为基底.()

(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底.()

(3)零向量不可以作为基底中的向量.()

答案：(1)×(2)√(3)√

2.若向量a，b的夹角为30°，则向量-a，-b的夹角为()

A.60°B.30°

C.120°D.150°

答案：B

3.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()

A.e1，e2B.e1+e2,3e1+3e2

C.e1,5e2D.e1，e1+e2

答案：B

4.在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，则向量，的夹角为______.

答案：135°

用基底表示向量

[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用基底a，b表示，.

[解]法一：由题意知，==12=12a，==12=12b.

所以=+=-=12a-12b，

=+=12a+12b，

法二：设=x，=y，则==y，

又+=，-=，则x+y=a，y-x=b，

所以x=12a-12b，y=12a+12b，

即=12a-12b，=12a+12b.

用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的性求解.

[活学活用]

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，=a，=b.试以a，b为基底表示，，.

解：∵AD∥BC，且AD=13BC，

∴=13=13b.

∵E为AD的中点，

∴==12=16b.

∵=12，∴=12b，

∴=++

=-16b-a+12b=13b-a，

=+=-16b+13b-a=16b-a，

=+=-(+)

=-(+)=-16b-a+12b

=a-23b.

向量夹角的简单求解

[典例]已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60°，则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少?

[解]如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°.

以，为邻边作平行四边形OACB，则=a+b，=a-b.

因为|a|=|b|=2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB=60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.

即a+b与a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60°.

求两个向量夹角的方法

求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.

[活学活用]

如图，已知△ABC是等边三角形.

(1)求向量与向量的夹角;

(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角.

解：(1)∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°.

如图，延长AB至点D，使AB=BD，则=，

∴∠DBC为向量与的夹角.

∵∠DBC=120°，

∴向量与的夹角为120°.

(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，

∴与的夹角为90°.

平面向量基本定理的应用

[典例]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.

[解]设=e1，=e2，

则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得=λ

=-λe1-3λe2，

=μ=2μe1+μe2.

故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.

而=+=2e1+3e2，由平面向量基本定理，

得λ+2μ=2，3λ+μ=3，解得λ=45，μ=35.

∴=45，=35，

∴AP∶PM=4∶1，BP∶PN=3∶2.

[一题多变]

1.[变设问]在本例条件下，若=a，=b，试用a，b表示，

解：由本例解析知BP∶PN=3∶2，则=25，

=+=+25=b+25(-)

=b+45a-25b=35b+45a.

2.[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.

解：如图，设=e1，=e2，

则=+=-2e2-e1，=+=2e1+e2.

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得=λ

=-λe1-2λe2，

=μ=2μe1+μe2.

故=+=-=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.

而=+=2e1+2e2，由平面向量基本定理，

得λ+2μ=2，2λ+μ=2，解得λ=23，μ=23.

∴=23，=23，

∴AP∶PM=2，BP∶PN=2.

若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.

层级一学业水平达标

1.已知ABCD中∠DAB=30°，则与的夹角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：选D如图，与的夹角为∠ABC=150°.

2.设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()

①与;②与;③与;④与.

A.①②B.①③

C.①④D.③④

解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线;而∥，∥，故①③可作为基底.

3.若AD是△ABC的中线，已知=a，=b，则以a，b为基底表示=()

A.12(a-b)B.12(a+b)

C.12(b-a)D.12b+a

解析：选B如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而=，即-=-，从而=12(+)=12(a+b).

4.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若=e1，=e2，则=()

A.12(e1+e2)B.12(e1-e2)

C.12(2e2-e1)D.12(e2-e1)

解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，=e1，=e2，所以=12(+)=12(e1+e2)，故选A.

5.(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，=3，则()

A.=-13+43

B.=13-43

C.=43+13

D.=43-13

解析：选A由题意得=+=+13=+13-13=-13+43.

6.已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b，则x-y的值为______.

解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，

∵(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b，

∴3x-4y=6，2x-3y=3，解得x=6，y=3，∴x-y=3.

答案：3

7.已知e1，e2是两个不共线向量，a=k2e1+1-5k2e2与b=2e1+3e2共线，则实数k=______.

解析：由题设，知k22=1-5k23，∴3k2+5k-2=0，

解得k=-2或13.

答案：-2或13

8.如下图，在正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则在以a，b为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为______.

解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得.

答案：a+b2a+c

9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=13，=13，=13，若=a，=b，试用a，b将，，表示出来.

解：=-

=13-23=13a-23b，

=-=-13-23=-13b-23(a-b)=-23a+13b，

=-=-(+)=13(a+b).

10.证明：三角形的三条中线共点.

证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令=a，=b.则有=b-a.

设G在AD上，且AGAD=23，则有=+=a+12(b-a)=12(a+b).

=-=12b-a.

∴=-=23-

=13(a+b)-a=13b-23a

=2312b-a=23.

∴G在BE上，同理可证=23，即G在CF上.

故AD，BE，CF三线交于同一点.

层级二应试能力达标

1.在△ABC中，点D在BC边上，且=2，设=a，=b，则可用基底a，b表示为()

A.12(a+b)B.23a+13b

C.13a+23bD.13(a+b)

解析：选C∵=2，∴=23.

∴=+=+23=+23(-)=13+23=13a+23b.

2.AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且=a，=b，则=()

A.43a+23bB.23a+43b

C.23a-23bD.-23a+23b

解析：选B设AD与BE交点为F，则=13a，=23b.所以=+=23b+13a，所以=2=23a+43b.

3.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()

A.若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1+λ2e1=0，则λ1=λ2=0

B.平面α内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R

C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R

D.对于平面α内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

解析：选BA中，(λ1+λ2)e1=0，∴λ1+λ2=0，即λ1=-λ2;B符合平面向量基本定理;C中，λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D中，λ1，λ2有且只有一对.

4.已知非零向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是()

A.x+y-2=0B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

解析：选A由=λ，得-=λ(-)，

即=(1+λ)-λ.又2=x+y，

∴x=2+2λ，y=-2λ，消去λ得x+y=2.

5.设e1，e2是平面内的一组基底，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则e1+e2=________a+________b.

解析：由a=e1+2e2，b=-e1+e2，解得e1=13a-23b，e2=13a+13b.

故e1+e2=13a-23b+13a+13b

=23a+-13b.

答案：23-13

6.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为120°，且|b|=2|a|，则向量a与c的夹角为________.

解析：由题意可画出图形，

在△OAB中，

因为∠OAB=60°，|b|=2|a|，

所以∠ABO=30°，OA⊥OB，

即向量a与c的夹角为90°.

答案：90°

7.设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基底;

(2)以a，b为基底，求向量c=3e1-e2的分解式;

(3)若4e1-3e2=λa+μb，求λ，μ的值.

解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb，

则e1-2e2=λ(e1+3e2).

由e1，e2不共线，得λ=1，3λ=-2⇒λ=1，λ=-23.

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.

(2)设c=ma+nb(m，n∈R)，则

3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)

=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.

∴m+n=3，-2m+3n=-1⇒m=2，n=1.∴c=2a+b.

(3)由4e1-3e2=λa+μb，得

4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)

=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.

∴λ+μ=4，-2λ+3μ=-3⇒λ=3，μ=1.

故所求λ，μ的值分别为3和1.

8.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=34+14.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比.

(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值.

解：(1)如图，由=34+14可知M，B，C三点共线，

令=λ⇒=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ⇒λ=14，所以S△ABMS△ABC=14，即面积之比为1∶4.

(2)由=x+y⇒=x+y2，=x4+y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒x+y2=1，x4+y=1⇒x=47，y=67.

高二数学选修21教案最新文案2

[新知初探]

1.向量的数乘运算

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|=|λ||a|;

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.

(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μa)=(λμ)a;

②(λ+μ)a=λa+μa;

③λ(a+b)=λa+λb;

特别地，有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);

λ(a-b)=λa-λb.

[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ+a，λ-a均无法运算.

(2)λa的结果为向量，所以当λ=0时，得到的结果为0而不是0.

2.向量共线的条件

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有一个实数λ，使b=λa.

[点睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a=0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b=λa成立;若a=b=0，a与b显然共线，但实数λ不，任一实数λ都能使b=λa成立.

(2)a是非零向量，b可以是0，这时0=λa，所以有λ=0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数.

3.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)λa的方向与a的方向一致.()

(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉.()

(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma=mb，则a=b.()

答案：(1)×(2)×(3)×

2.若|a|=1，|b|=2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()

A.b=2aB.b=-2a

C.a=2bD.a=-2b

答案：A

3.在四边形ABCD中，若=-12，则此四边形是()

A.平行四边形B.菱形

C.梯形D.矩形

答案：C

4.化简：2(3a+4b)-7a=______.

答案：-a+8b

向量的线性运算

[例1]化简下列各式：

(1)3(6a+b)-9a+13b;

(2)123a+2b-a+12b-212a+38b;

(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.

[解](1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.

(2)原式=122a+32b-a-34b=a+34b-a-34b=0.

(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.

向量线性运算的方法

向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量.

[活学活用]

化简下列各式：

(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);

(2)1622a+8b-44a-2b.

解：(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.

(2)原式=16(4a+16b-16a+8b)=16(-12a+24b)=-2a+4b.

用已知向量表示未知向量

[典例]如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知=a，=b，试用a，b分别表示，，.

[解]由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故=12，即=12a.

=++=-a+b+12a=-12a+b.

=++=12++12

=-14a-b+12a=14a-b.

用已知向量表示未知向量的方法

用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用.

[活学活用]

如图，四边形OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又=13，=13，试用a，b表示，，.

解：∵=13=16=16(-)=16(a-b)，

∴=+

=b+16a-16b=16a+56b.

∵=13=16，

∴=+=12+16

=23=23(+)=23(a+b).

∴=-

=23(a+b)-16a-56b=12a-16b.

共线向量定理的应用

题点一：判断或证明点共线

1.已知两个非零向量a与b不共线，=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线.

证明：∵=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，

∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.

∴，共线，

又∵它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线.

题点二：利用向量的共线确定参数

2.已知a，b是不共线的两个非零向量，当8a+kb与ka+2b共线时，求实数k的值.

解：∵8a+kb与ka+2b共线，

∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)，

即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.

∵a与b不共线，∴8-λk=0，k-2λ=0，

解得λ=±2，

∴k=2λ=±4.

题点三：几何图形形状的判定

3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，=13+25，=15+25AC.

求证：四边形APQB为梯形.

证明：因为=++=-13-25++15+25=1315，所以∥.

又||=15，所以||=13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形.

用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路

(1)若b=λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行;

(2)若b=λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量=λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.

层级一学业水平达标

1.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a=()

A.57bB.-57b

C.75bD.-75b

解析：选Bb与a反向，故a=λb(λ<0)，|a|=-λ|b|，则5=-λ×7，所以λ=-57，∴a=57b.

2.已知a=5e，b=-3e，c=4e，则2a-3b+c=()

A.5eB.-5e

C.23eD.-23e

解析：选C2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.

3.已知=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则()

A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线

C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线

解析：选B=+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=，

又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线.

4.在△ABC中，点P是AB上一点，且=23+13，又=t，则t的值为()

A.13B.23

C.12D.53

解析：选A由题意可得=-=23+13-=13(-)=13，又=t，∴t=13.

5.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若=a，=b，则=()

A.13a+bB.12a+b

C.a+13bD.a+12b

解析：选A由已知条件可知BE=3DE，∴DF=13AB，∴=+=+13=13a+b.

6.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，则x=______.

解析：由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0，

∴x+3a-4b=0，∴x=4b-3a.

答案：4b-3a

7.下列向量中a，b共线的有________(填序号).

①a=2e，b=-2e;

②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;

③a=4e1-25e2，b=e1-110e2;

④a=e1+e2，b=2e1-2e2.

解析：①中，a=-b;②中，b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a;③中，a=4e1-25e2=4e1-110e2=4b;④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.

答案：①②③

8.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+(2-m)b共线，则实数m的值为________.

解析：因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma-3b=λ[a+(2-m)b]，即(m-λ)a+(mλ-2λ-3)b=0，因为a与b不共线，所以m=λ，mλ-2λ-3=0，解得m=-1或m=3.

答案：-1或3

9.计算：

(1)25(a-b)-13(2a+4b)+215(2a+13b);

(2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m，n为实数).

解：(1)原式=25-23+415a+-25-43+2615b=0.

(2)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)

=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb

=ma-nb.

10.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a=2e1-e2，b=ke1+e2，若a与b是共线向量，求实数k的值.

解：∵a与b是共线向量，∴a=λb，

∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2，

∴λk=2，λ=-1，

∴k=-2，λ=-1，

∴k=-2.

层级二应试能力达标

1.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是()

A.a与λa的方向相同

B.a与-λa的方向相反

C.a与λ2a的方向相同

D.|λa|=λ|a|

解析：选C只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与-λa的方向相反，且|λa|=λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同.

2.已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2++=0，则()

A.=B.=2

C.=3D.2=

解析：选A∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴+=2，∴2(+)=0，即+=0，从而=.

3.已知向量a，b不共线，若=λ1a+b，=a+λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为()

A.λ1=λ2=1B.λ1=λ2=-1

C.λ1λ2=1D.λ1+λ2=1

解析：选C∵A，B，C三点共线，

∴=k(k≠0).

∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b.

又∵a，b不共线，

∴λ1=k，1=kλ2，∴λ1λ2=1.

4.已知平面内有一点P及一个△ABC，若++=，则()

A.点P在△ABC外部B.点P在线段AB上

C.点P在线段BC上D.点P在线段AC上

解析：选D∵++=，

∴++-=0，

∴+++=0，即++=0，

∴2=，∴点P在线段AC上.

5.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反，则k=______.

解析：∵ke1+2e2与8e1+ke2共线，

∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.

∴k=8λ，2=λk，解得λ=12，k=4或λ=-12，k=-4.

∵ke1+2e2与8e1+ke2反向，

∴λ=-12，k=-4.

答案：-4

6.如图所示，在▱ABCD中，=a，=b，AN=3NC，M为BC的中点，则=________(用a，b)表示.

解析：=+=-=12-14

=12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a).

答案：14(b-a)

7.已知：在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，求证：四边形ABCD为梯形.

证明：如图所示.

∵=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)

=-8a-2b=2(-4a-b)，

∴=2.

∴与共线，且||=2||.

又∵这两个向量所在的直线不重合，

∴AD∥BC，且AD=2BC.

∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.

8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设=a，=b.

(1)用a，b表示向量，;

(2)若=λ，求λ的值.

解：(1)由A是BC的中点，则有=12(+)，

从而=2-=2a-b.

由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得=23，

从而=-=(2a-b)-23b=2a-53b.

(2)由于C，E，D三点共线，则=μ，

又=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b，

=2a-53b，

从而(2-λ)a-b=μ2a-53b，

又a，b不共线，则2-λ=2μ，1=53μ，解得λ=45.

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教学准备

教学目标

一、知识与技能

(1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6)使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.

二、过程与方法

创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.

三、情态与价值

通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.

教学重难点

重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用.

难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.

教学工具

投影仪等

教学过程

一、创设情境，引入新课

师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里)

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

二、讲解新课

1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

(师生共同活动)探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.

四、课堂小结

度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行;在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

五、作业布置

作业：习题1.1A组第7,8,9题.

课后小结

课后习题

作业：习题1.1A组第7,8,9题.

板书

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教学准备

教学目标

1、知识与技能

(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。

2、过程与方法

通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

教学重难点

重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。

教学工具

投影仪

教学过程

【创设情境，揭示课题】

同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)

【探究新知】

1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。(单摆运动、四季变化等)

(板书：一、我们生活中的周期现象)

2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：

①如何理解“散点图”?

②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?

③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?

④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?

以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。

(板书：二、周期函数的概念)

3.[展示投影]练习:

(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)。

求f(x+2T)，f(x+3T)

略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)

f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。

(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)=2005,求f(11)

略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005

(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8)

略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2

【巩固深化，发展思维】

1.请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。

2.例题讲评

例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗?如果是，这个函数

y=f(t)是不是周期函数?

例2.图1-4(见课本)是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y=g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t+T)=g(t),其中T为钟摆摆动一周(往返一次)所需的时间，函数y=g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。

例3.图1-5(见课本)是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。

3.小组课堂作业

(1)课本P6的思考与交流

(2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

五、归纳整理，整体认识

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

六、布置作业

1.作业：习题1.1第1,2,3题.

2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.

课后小结